一生能有多少愛|量子多體中的吶喊與彷徨之三

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我承認,這是一個俗氣的題目。很多年前,大概是還覺得《讀者》之類的雞湯文字集合是文學的時候吧,不知在什麼地方見到過以此為題目的一本書。內容自然記不清楚瞭,大抵都是些content-free 的大實話:人生艱難,痛苦總是多於歡欣,沒有愛的扶持我們怎麼能夠堅持下去雲雲。時過境遷,已經練就瞭鐵石心腸雞湯不入,隻有這個題目還映在腦海裡。也是很多年前,大概是還有人看《一生能有多少愛》這樣的文字的時候,在凝聚態物理學量子多體研究領域中,物理學傢們正在真真實實地為瞭非費米液體這樣的人生難題而痛苦。自從先師朗夫子和他門下的AGD諸賢人創立瞭朗道費米液體理論框架以來,後學們格物致知的人生從未顯得如此困難,從未遇到過用圈圖計算不能解決的問題,從未如此需要愛的扶持。“天不生列夫,萬古如長夜”,眼下我們又遇到瞭新的挑戰,而列夫已經走遠瞭。那麼挑戰到底是什麼呢?我們接著上一篇往下說[1]。朗道費米液體理論描述瞭金屬導體的基本性質,比如低溫下,電阻滿足ρ~T2的關系;靜態磁化率χ~N(F) 是一個和溫度無關但是和費米面上態密度有關的常數;比熱滿足C~T的關系等等。這些現象的本質原因是費米面附近無窮多的電子,盡管感受到瞭彼此之間的量子多體相互作用,但作用的結果不過是重整化瞭它們,將質量變成有效質量,磁矩變成瞭有效磁矩。這些具有有效質量、有效磁矩的準粒子,在能量接近費米能的過程中,愈發地接近無相互作用的自由費米子,可以用量子力學單體問題成熟的計算手段來處理,故其行為可以被準確計算並解釋相關實驗結果。套用最近剛剛去見朗夫子的凝聚態物理學亞聖Anderson的話,此處其實不是more is different,而是more is the same,問題變得簡單瞭。然而, 量子多體世界一如人生,復雜才是它的本質,痛苦總是多於歡欣。當代以來許多關聯電子系統的實驗現象不能用費米液體理論描述。高溫超導體相圖中的奇異金屬和贗能隙區域,重費米子量子臨界區中的非費米液體等等,拋開材料的千別萬化和現象的紛繁復雜,單說電阻隨溫度的依賴關系這一條,就不是ρ~T2而是ρ~Ta,並且a 後世的物理學傢多年勤勤懇懇地整理非費米液體實驗上的結果,抽象出最簡單的模型,然後運用解析和數值工具,研究如是的模型中是否蘊含著非費米液體的跡象,其中一大類是費米子和臨界玻色子耦合模型[2],其微觀晶格模型的拉式量可以寫成如下的形式:其中這裡ψi,σ 是費米子(電子)算符,i,j為晶格坐標, σ 是電子自旋,ti, j是自由費米子在晶格上的躍遷, μ 是控制系統中電子數目的化學勢。玻色場i 可以是標量(具有Ising 對稱性)或者矢量場(二分量具有O(2)對稱性或者三分量具有O(3)對稱性),Ji, j是玻色場的空間相互作用,而其時間求導τ則賦予玻色場量子維度的動力學,二次項i2前面的系數m用來調節玻色場從對稱的無序態到對稱性破缺的有序態的相變。如果沒有耦合項Lcoupling 的存在,此處的相變就是玻色子自己在(2+1)時空維度的Wilson—Fisher 普適類相變,但是耦合項的存在改變瞭玻色子和費米子的命運。λ 將玻色子的臨界動力學漲落傳遞給瞭費米子,當m調節到相變點時,費米子在時空的路徑積分框架下具有瞭有效相互作用,而這些相互作用的費米子還可以再反饋給玻色子,改變玻色子的臨界行為, 使得整個耦合系統L[ψ,] 處在瞭一個新的量子臨界點上。這個零溫的量子臨界點和其上的量子臨界區域,就是孕育非費米液體的地方。如是的模型和基本的相圖都在圖1中展示。圖1 (a)費米子與鐵磁量子Ising 自旋耦合模型[3]。λ = 1,2 表示正方晶格的兩層自由費米子,中間一層為量子Ising 自旋,自旋之間具有鐵磁相互作用J,橫向的磁場h 引入Ising 自旋的量子漲落,漲落通過耦合傳遞給費米子,引入費米子之間的有效相互作用。(b)模型的示意相圖[4]。橫場h 大於臨界值時,Ising 自旋量子無序,耦合不發生作用,費米子處於順磁費米液體,費米面自旋上下簡並;橫場h 小於臨界值時,Ising自旋鐵磁有序,耦合的結果是費米面自旋簡並劈裂,費米子處於Ising 鐵磁金屬狀態,但由於此處玻色子漲落很弱,Ising 鐵磁金屬仍然是費米液體。隻有在橫場h 處在臨界值時,玻色子量子漲落最強,系統在零溫時處於量子臨界點。費米子之間通過玻色漲落生發出強烈地相互作用,系統進入量子臨界的非費米液體區,其基本的性質是費米子自能滿足頻率的分數冪次,對於鐵磁量子臨界金屬這個冪次是2/3。(c)和(d)的解釋見前文[1],與(a)和(b)發生同樣的物理過程,隻不過是反鐵磁量子臨界現象。在Ising 反鐵磁序形成的區域,費米面折疊,折疊出的交點是hot spots。在量子臨界區中,hot spots 動量處的費米子進入非費米液體[5],其自能的冪次為1/2有瞭模型,下一步就是如何求解。此處人們又遇到瞭困難。從解析上可以進行一些微擾計算,仍然是運用圈圖計算的方法。在這個方面,還是俄國人支配著領域的進展,足以顯示朗道學派傳統餘威之所及。圈圖計算是一種級數展開的概念,計算結果的可靠性依賴於級數是否可以在一定階數收斂。遺憾的是,到目前為止,對於上述的耦合模型,普遍意義上的收斂形式還沒有找到。但是在不同的展開階數上,人們對於問題還是有一些基本的認識。比如在最低階的近似下,有所謂的Hertz—Millis—Moriya 結論,這是隨機相位近似(random phase approximation, RPA) 層次上的結果。在圖1 中所示的2 維晶格系統量子臨界點上,Hertz—Millis—Moriya對於鐵磁和反鐵磁量子臨界點給出瞭高斯不動點普適類的預言。這個結論顯然過於簡單,基本上就是說費米子和臨界玻色子耦合的結果是把量子臨界問題變成瞭比原來純玻色子的Wilson—Fisher 量子臨界行為還要簡單的問題,雖有其存在的意義, 但又是一個more is the same 精神的結論,和實驗觀測還是有差距。比RPA高級一些的理論是所謂的大N展開,此處N可以是費米子的內稟自由度數目(比如自旋或者flavor數目),或者系統中低能費米子自由度的數目(比如反鐵磁量子臨界問題中,因為費米面被玻色子漲落矢量所折疊而造成的費米面上hot spots的數目)。大N展開確實可以把系統帶到新的不動點和普適類,比如對於鐵磁和反鐵磁的量子臨界點,可以得到電子的自能出現頻率的分數冪次的行為, Σ(ω)~ωa , a 在上一篇文章中,我們講到相互作用下的電子格林函數,其中是相互作用系統中的準粒子權重,是重整化之後的準粒子色散關系,描述重整化之後準粒子的壽命。其實我們之前反復提到的,人們不知道非費米液體的理論描述,主要是在說非費米液體的自能應該滿足什麼樣的表達式,尤其是做為準粒子壽命的虛部的解析表達式。而我們上面提到的大N展開的結果,就是對於臨界點上費米子自能的頻率依賴關系的描述。自能虛部所對應的life time的倒數可以近似為準粒子的電阻ρ~ τ-1 ,所以鐵磁量子臨界點上Σ"(ω)~ω2/3 就意味著ρ~ω2/3 或者T2/3(頻率和溫度都是能量量綱),反鐵磁量子臨界點上Σ"(ω)~ω1/2 就意味著ρ~ω1/2 或者T1/2 。雖然還是和實驗中看到的冪次不一樣(比如高溫超導體中的非費米液體中電阻和溫度呈線性關系),但是起碼已經偏離瞭費米液體的ρ~T2行為,而且這些結果隻是1/N 的第一階的結果,電阻直接用life time的倒數(也就是自能虛部)來近似也很粗糙,考慮高階修正之後冪指數可能再發生變化,很有希望和實驗觀測結合起來。所以,眼下的問題就是,能否在模型的嚴格計算中,看到理論預言的自能虛部有偏離費米液體的行為。說來慚愧,幾十年過去瞭,這一步我們才剛剛看到。理論上的近似計算當然很早就得到瞭上面的1/N展開結果,但是後期人們主要在討論更高階的修正會如何改變這些低階的結果,關於級數是否會最終收斂此事目前仍然沒有定論[8],所以不同的階數結論不同。比如對於鐵磁量子臨界點,人們甚至在討論連續相變本身是否存在,抑或是其實系統變成瞭1 級相變[9];而對於反鐵磁量子臨界點,高階圈圖的計算似乎在指出隨著費米速度向著玻色子低能波矢方向轉動,甚至連臨界指數本身也會發散[10]。總之,這些討論牽扯到進階的重整化群語言,朗學後人和業內專傢們討論起來自然是棋逢對手,口吐蓮花,十分過癮;但是在廣大讀者看來庶幾針尖上站幾個天使之類的玄學清談,我們還是就此打住,轉而介紹晶格模型數值計算的結果吧。畢竟大傢都會看圖和數數。圖1中的費米子與臨界玻色子耦合模型,可以通過量子蒙特卡洛模擬得到確定性的結果。圖2就是數值計算所得的Ising鐵磁和反鐵磁量子臨界點模型的相圖[3,5]。相圖中的數字、符號和簡稱大傢還是要看具體的文獻,但是基本的安排(如有顏色陰影的區域為鐵磁和反鐵磁金屬,白色區域為順磁費米液體,零溫的量子相變點之上的溫度區域為量子臨界區)和圖1中的示意是一致的。為瞭能夠進行這樣問題的計算,在算法的設計和優化方面也需要做相當的前期準備,比如為瞭克服費米子行列式蒙特卡洛的計算復雜度高和臨界慢化等問題,我們發展出瞭自學習蒙特卡洛方法[11];為瞭增大在費米面上hot spots附近的動量解析度,我們設計瞭鴯鶓算法[12](鴯鶓英文名EMU,我們的算法英文名EMUS-QMC: Elective Momentum Ultra—Size Quantum Monte Carlo Method, 簡稱EMUS)。其實這些計算方面上的進步,很大程度上來自於從事數值計算與從事解析理論的物理學傢的良性互動,這也是近年來量子多體研究的一個大趨勢。對於費米面和臨界玻色子耦合的量子臨界問題,隻要把所有的計算資源集中到低能的自由度上,增大這裡的能量—動量的解析度,就可以抓住問題的本質,有效地提高對於臨界行為的準確描述能力,而不用操心原本微觀晶格模型中的高能自由度。其實場論模型就是這樣設計的,現在的數值計算物理學傢,在量子多體問題中已經開始直接模擬量子場論模型,通過模型設計和算法的進步,逐步克服以前微觀模型的局限,明心見性,直指本心。圖2 (a)費米子與鐵磁量子Ising 自旋耦合模型的量子蒙特卡洛計算相圖[3];(b)費米子與反鐵磁Ising 自旋耦合模型的量子蒙特卡洛計算相圖[4]在圖2(a)、(b)所示的晶格模型中,通過調控量子Ising自旋模型中的橫向磁場h 大小,也就是前面拉式量Lboson 中的m,可以控制玻色子量子漲落的強度,可以讓費米子系統處於順磁費米液體(Fermi liquid)、鐵磁和反鐵磁金屬以及我們最關心的量子臨界區(quantum critical region,QCR)。在QCR中,系統處在強關聯的參數范圍,蒙特卡洛的計算結果揭示瞭非費米液體的行為。如是的結果在圖3 中展現。圖3(a)中的三幅圖就是鐵磁量子臨界點上蒙特卡洛計算得到的費米子權重(i)、自能(ii)與格林函數(iii)[3]。在圖3(a)中展示瞭費米液體中的準粒子權重,即在1 附近的那些圓點,它們是h > hc 的順磁相中的Zk(T ) ,基本恒定在1不隨溫度變化,這是費米液體的行為。而在量子臨界區中,即圖中的方塊數據,可以清楚的看到費米面上的準粒子權重Zk(T )隨著溫度從1一路減小,這是明顯偏離費米液體的行為。這樣的對比說明在量子臨界區中穩定的準粒子圖像已經不再適用,在費米面上雖然還存在著大量的臨界費米子激發,但是它們都存在於非費米液體的一鍋雞湯裡,雞湯中的自由度不斷翻滾著、漲落著、冒泡著,沒有準粒子,沒有無窮長的life time。然後再觀察我們反復強調的自能,如圖3(a-ii)和(b)中都畫出瞭蒙特卡洛得到的自能虛部。一個顯著的特點是這裡的自能竟然隨著頻率緩慢低發散,一如圖3(b) 中那條綠色的1/ωn 背景虛線。這雖然不是費米液體(對於費米液體來說,自能在松原頻率下線性到零,如圖3(a-ii)中那些實心圓點所示),但顯然也不是我們提到鐵磁量子臨界點上Σ"( ω)~ω2/3 。這又是這麼回事呢?圖3 (a)(i)鐵磁量子臨界點相圖中的準粒子權重。方塊圖標為量子臨界點上的測量,圓圈圖標為費米液體中的測量。θ = 0°, 45° 分別代表費米面上的兩個不同動量點。在量子臨界區中,準粒子權重Zk(T )隨著溫度降低,這是非費米液體的行為;在費米液體區域,準粒子權重是接近1的常數,這是費米液體的行為。(ii)和(b)為相應過程中費米子自能虛部隨頻率的變化。(ii)裡的方塊圖標是量子臨界區中的自能,(b)裡面是同一筆數據,自能為有限值,並且隨著頻率的降低而緩慢增大,顯然不是費米液體行為。(ii)裡的圓點是費米液體區中的自能,隨著松原頻率線性到零,顯示出低能下無相互作用的本質。量子臨界區中的非費米液體卻隨著頻率有一個類似1/ωn 緩慢發散的背景((b)中的虛線),雖然不是費米液體,但也不是文章提到的Σ(ω)~ω2/3 的分數化冪指數行為,說明之前的理論有沒有考慮周全之處。(c)考慮瞭有限溫度的自能貢獻ΣT (經過計算可以得出其近似為ΣT= α(T )/ωn),並將其扣除ΣQ(ωn) = Σ(ωn) - α(T)/ωn,剩下部分即是量子臨界點給出的非費米液體自能ΣQ(ωn),其數值結果和解析計算的結果(圖中黑色虛線)吻合,而前文中提到的Σ(ω)~ω2/3 非費米液體行為其實隻是完整解析計算在極低頻率之下的漸進行為(圖中紅色虛線)大概花瞭3 年左右的時間,正是在和解析理論物理學傢的互動中,我們才意識到問題所在[4]。原來之前所講的大N展開圈圖計算,其實都是在溫度嚴格為0的量子臨界點上進行的,當年的朗學後人們也沒有想到有朝一日還真有一批實心眼的數值計算物理學傢會真正設計出晶格模型,並費力優化算法,就是為瞭能夠檢驗場論模型的預言。所以如果現在認真看待量子蒙特卡洛晶格計算,會發現這樣的計算都是在有限的晶格大小,有限的溫度下進行的,雖然我們想讓計算的結果盡量逼近零溫的結果,但是有限溫度漲落所引入的對於自能的修正是不能忽略的。這一點在當年的解析計算中沒有考慮,那個鐵磁量子臨界點上Σ"(ω)~ω2/3是純粹的零溫的結果。故而一般而言,如果考慮瞭有限溫度的貢獻,可以預期自能應該分成熱漲落(thermal)和量子漲落(quantum)兩部分的貢獻,即而且能夠將ΣT 和ΣQ 清楚地分開對於模型的參數也有要求,就是耦合強度λ 需要小於系統的帶寬(或者費米能) F ,然後頻率ωn 的取值范圍大概在~λF1/2到~F 之間,此時ΣQ(ωn) 的形式是一個比較復雜的積分。有限溫度的自能貢獻,在如此的頻率范圍內是一個緩慢發散的形式,ΣT(ωn) ~α(T)/ωn, 其中α(T ) 和頻率無關隻與溫度有關,這部分貢獻可以從蒙特卡洛得到的總的自能中扣除,從而暴露出量子部分的自能。等到頻率低於λF1/2,才能看到大N展開時零溫的ΣQ(ω) ~ω2/3 。這樣的結果如圖3(c)所示[4]。蒙特卡洛的自能數據,在扣除掉ΣT(ωn)之後,由於計算所在的頻率范圍大部分在λF1/2到F 之間,故而此時的ΣQ為復雜的函數形式,其解析解就是圖中的黑色虛線,完美地從數據中穿過。而當頻率低於能量尺度λF1/2時,零溫的ΣQ(ω)~ω2/3 以漸進行為出現,就是圖中的紅色虛線。由是觀之,其實在考慮瞭有限溫度情況之後,非費米液體的自能其實應該如圖中的黑線,雖然沒有簡單的代數表達式,但是其存在的頻率范圍反而遠大於那個簡單的、漸進的ω2/3, 也就是說, 其實在蒙特卡洛計算中可以清楚地在量子臨界區中看到非費米液體的自能,關鍵在於如何正確地設計模型和分析數據。行文至此,在物理內容上可以打住瞭。基本信息就是現在後學們已經可以在費米子和鐵磁臨界玻色子耦合的模型中,通過量子蒙特卡洛計算,再扣除掉有限溫度自能的貢獻,明確地揭示量子臨界漲落所造成的非費米液體行為,非費米液體的自能和其分數化冪律的漸進行為也可以被看到。有瞭這樣的認識,在其他的量子臨界漲落模型中,如反鐵磁、電荷密度波、規范場漲落等等,當然可以進行如是的理論與數值結合的分析,逐步建立起如費米液體一般的非費米液體理論框架——當然,我們這些後學們還得如先師一樣,給這個框架起一個不那麼生硬拗口的名字。話題再回到一生能有多少愛,如果說非費米液體雞湯中的復雜現象,我們可以就著蒙特卡洛的猛火,可勁兒地攪拌翻騰理出頭緒,並把先賢的道路往前推進的話。世界的變化就真是實心眼的科學傢們所不能理解的瞭。人生的底色是痛苦、疲憊和困厄,但目之所及,還是有人忍受著生死的考驗進行著體現著生命意義的創造,當然大多數人在中途放棄瞭。創造的內容有高下,深遠者如先師朗夫子和諸多亞聖賢人為後人構造科學的框架和指出道路,後學們在這道路上前進,總會發現新的風景,得到新的認識,再為後人推廣知識的邊界。我們普通人的創造大多數時候,無法如先賢般穿透歷史戰勝時間(不過大傢也看到,朗夫子的理論也不過半個世紀,已經不足以解釋新的現象瞭),但就是在這樣勉力為之的過程中,一個一個的普通人找到瞭寄托,戰勝瞭困厄的人生,揚棄瞭時代和社會加諸於我們身上的枷鎖。創造性的活動讓我們操心勞神,忍受著生存、名利、人性中的愚蠢偏狹所造就的種種不合理,但也讓我們在創造中忘記瞭這些額外的痛苦,和人生達到瞭動態的和解,找到瞭人生中的愛。有一個朋友,平日裡寫詩,雖然水平不入流卻樂此不疲,最近又給我發來新作,記述他在眼下這個瘟疫橫行的世界上的一次際遇。雖然仍然水平有限但其勉力為之的意思庶幾近乎我這些磕磕絆絆的文字,抄在這裡做為本文的結尾吧。底特律機場與爵士樂瘟疫正在世界上橫行,動蕩的時代更讓人時時追問生命本來的目的。陰差陽錯中穿行於大洋彼岸,在底特律機場碰到現場爵士樂鋼琴表演,黑人樂手自信忘我的神情和清脆激越的琴聲片刻間安撫瞭我焦灼的心,但這表演卻被大多行色匆匆的旅客忽略。遂想起生命旅途中的迷惑亦如此,美好常見於疲憊之中,匆匆的行旅又有多少是不自覺的盲從。站在琴聲中既悲傷又欣慰,記錄下來示不忘也。在底特律機場裡聽爵士樂冬日的陽光從雲層中灑出抬頭見大廳鋼窗外的天輕快如少年琴聲珍珠般靈動清脆激越黑人樂手迷人的投入被來往的旅人所忽略美好總是飄渺的又有誰會駐足?瘟疫肆虐隻求不要再放大人們心中的惡爭奪、欺詐寧可毀瞭自己隻為讓別人難受的撕裂這幾年來,可曾少見?生命的意義真如這琴聲隻有想聽的人才能獲得慰藉機場裡的街頭音樂傢自遣自娛自徘徊隻有一個異國的旅客片刻間被他熨平瞭滿心的焦渴停下來,縱然隻有一小會兒激賞和忘情真的隻有一小會兒又要開始下一段疲憊的旅程少年的心事畢竟會遠去隻願人性的惡不要勝於瘟疫真的隻有一小會兒在琴聲中看到瞭善良想起來有誰說過不知該原諒些什麼誠覺世事盡可原諒參考文獻[1] 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